Дополнительный материал для усложненных занятий по 2ступени.
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1% ... 0%B0%D0%BB
После освоения базового курса по 2 ступени для сохранения постоянного процесса саморазвития целесообразно постепенно усложнять работу с восприятием и отражением на экране ПБК новых боле интересных и сложных зрительных образов. Фракталы могут стать одной из разновидностей усложнения таких образов, к тому же обладающих огромным разнообразием новых форм.
Фрактал
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Фракта́л (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — сложная геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. В более широком смысле под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической.
Фрактальная форма подвида цветной капусты (Brassica cauliflora)
Фрактал — это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба[1].
Фрактал — самоподобное множество нецелой размерности[1].
Содержание
* 1 Термин
o 1.1 История
* 2 Классификация[1]
* 3 Примеры
o 3.1 Самоподобные множества с необычными свойствами в математике
o 3.2 Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых
o 3.3 Фракталы как неподвижные точки сжимающих отображений
o 3.4 Фракталы в комплексной динамике
o 3.5 Стохастические фракталы
o 3.6 В природе
* 4 Применение
o 4.1 Естественные науки
o 4.2 Литература
o 4.3 Радиотехника
+ 4.3.1 Фрактальные антенны
o 4.4 Информатика
+ 4.4.1 Сжатие изображений
+ 4.4.2 Компьютерная графика
+ 4.4.3 Децентрализованные сети
* 5 Галерея
* 6 См. также
* 7 Примечания
* 8 Литература
* 9 Ссылки
.....................
............................ 
Множество Мандельброта — классический образец фрактала ......... Фрактальная форма подвида цветной
.................................................................................................... капусты (Brassica cauliflora)
Термин
Следует отметить, что слово «фрактал» не является математическим термином и не имеет общепринятого строгого математического определения. Оно может употребляться, когда рассматриваемая фигура обладает какими-либо из перечисленных ниже свойств:
* Обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом отличие от регулярных фигур (таких, как окружность, эллипс, график гладкой функции): если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину.
* Является самоподобной или приближённо самоподобной.
* Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.
Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например, побережья, облака, кроны деревьев, снежинки, кровеносная система и система альвеол человека или животных.
Фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря сочетанию красоты с простотой построения при помощи компьютера.
История
Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке (например, множество Кантора). Термин «фрактал» был введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую популярность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы».
Классификация
* Алгебраические фракталы
o Множество Мандельброта
o Множество Жюлиа
o Бассейны (фракталы) Ньютона
o Биоморфы
o Треугольники Серпинского
* Геометрические фракталы
o Кривая Коха (снежинка Коха)
o Кривая Леви
o Кривая Гильберта
o Ломаная (кривая) дракона (Фрактал Хартера-Хейтуэя)
o Множество Кантора
o Треугольник Серпинского
o Ковёр Серпинского
o Дерево Пифагора
o Круговой фрактал
* Стохастические фракталы
* Рукотворные фракталы
* Природные фракталы
* Детерминированные фракталы
* Недетерминированные фракталы
Примеры
Самоподобные множества с необычными свойствами в математике
Начиная с конца XIX века, в математике появляются примеры самоподобных объектов с патологическими с точки зрения классического анализа свойствами. К ним можно отнести следующие:
* множество Кантора — нигде не плотное несчётное совершенное множество. Модифицировав процедуру, можно также получить нигде не плотное множество положительной длины.
* треугольник Серпинского и ковёр Серпинского — аналоги множества Кантора на плоскости.
* губка Менгера — аналог множества Кантора в трёхмерном пространстве;
* примеры Вейерштрасса и Ван дер Вардена нигде не дифференцируемой непрерывной функции.
* кривая Коха — несамопересекающаяся непрерывная кривая бесконечной длины, не имеющая касательной ни в одной точке;
* кривая Пеано — непрерывная кривая, проходящая через все точки квадрата.
* траектория броуновской частицы также с вероятностью 1 нигде не дифференцируема. Её хаусдорфова размерность равна двум.
Рекурсивная процедура получения фрактальных кривых
Построение кривой Коха
Существует простая рекурсивная процедура получения фрактальных кривых на плоскости. Зададим произвольную ломаную с конечным числом звеньев, называемую генератором. Далее, заменим в ней каждый отрезок генератором (точнее, ломаной, подобной генератору). В получившейся ломаной вновь заменим каждый отрезок генератором. Продолжая до бесконечности, в пределе получим фрактальную кривую. На рисунке справа приведены три первых шага этой процедуры для кривой Коха.
Примерами таких кривых служат:
* кривая дракона;
* кривая Коха;
* кривая Леви;
* кривая Минковского;
* кривая Пеано.
* с помощью похожей процедуры получается дерево Пифагора.
Построение кривой Коха
